今起铁路执行新运行图 贵阳近30对列车有变化

Графиконот на функци?ата, нацртан со црно, и тангентната црта на таа функци?а, нацртана со црвено. Наклонот на тангентата на -оската е еднаков на изводот на функци?ата во означената точка.

百度 二是巩固本科院校职称评审权下放成果，将高校职称评审权下放扩大到全省高职院校。

Во математичката анализа, гранка на математиката, изводот е мерка за тоа како (колку брзо) функци?ата ги менува своите вредности кога се менуваат не?зините влезни вредности. Изводот на крива во точка го претставува коефициентот на насоката на допирката/тангентата на дадената крива во таа точка.

Изводот на функци?ата во точката ?a“ се дефинира како:

$f'(x)|_{x=a}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$

ако постои гранична вредност. Во спротивно, можеме да го разбереме изводот како линеарен оператор.

Постапката на пронао?а?е на изводот на функци?ата се нарекува диференцира?е. Диференцира?ето е спротивно на интегрира?ето.

Запис на изводот

Ла?бницово обележува?е

Симболите $dx$, $dy$ и ${\frac {dy}{dx}}$ ги смислил Готфрид Вилхелм Ла?бниц во 1675 година. Сè уште често се користи кога функци?ата y = f(x) се гледа као однос на зависни и независни промениви. Во то? случа? првиот извод се обележува како:

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ или }}{\frac {d}{dx}}f,$

и некогаш се гледал како инфинитезимален количник. Изводите од повисок ред се обележуваат со следната нотаци?а:

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ или }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

за n-тиот извод на функци?ата $y=f(x)$. Тие претставуваат скратен запис за повторува?е на операторот извод, на пример:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Со Ла?бницовата нотаци?а можеме да запишеме извод на функци?а $y$ во точка $x=a$ на два начина:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

Ла?бницовата нотаци?а дозволува прецизира?е на променливата по ко?а се врши извод, што е важно ка? парци?алните изводи. Исто така, го олеснува помне?ето на формулата за изводот на сложена функци?а:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

Лагранжово обележува?е

На?честиот начин за запишува?е на изводот е со Лагранжова нотаци?а ко?а ?а користи ознаката прим ('), така што изводот на функци?ата $f$ се запишува како $f'$. Слично на тоа, вториот и третиот извод се обележуваат како:

$(f')'=f''$ и $(f'')'=f'''.$

За да се означи редот на изводот над 3, некои автори користат римски бро?ки во натписот, а некои арапски бро?ки во загради:

$f^{\mathrm {iv} }$ или $f^{(4)}.$

n-тиот извод се означува како $f^{(n)}$, оваа нотаци?а се користи кога се однесува на изводот како за сопствена функци?а.

?утново обележува?е

?утновата нотаци?а обично се користи кога независната променлива означува време. Ако локаци?ата y е функци?а од t, тогаш i ${\dot {y}}$ означува брзина, a ${\ddot {y}}$ укажува на забрзува?е.

?утновата нотаци?а за диференцира?е (исто така наречена точкеста нотаци?а за диференцира?е) става точка над зависната променлива. Односно, ако y е функци?а од t, тогаш изводот на y е во однос на

${\dot {y}}$

Равенката на нормалата во дадената точка Т ?е биде:

${\ddot {y}},{\overset {...}{y}}$

Користе?е на изводи за црта?е графикони на функции

Во секо?а точка, изводот е наклонот на тангентата на кривата. Црвената лини?а е секогаш тангента на сината крива; неговиот наклон е извод.

Изводите се корисна алатка за испитува?е на графикони на функции. Сите точки во доменот на реалните функции кои претставуваат локални екстреми имаат нула како сво? прв извод. Сепак, не сите критични точки се локални екстреми; на пример има критична точка во, но нема ниту локален максимум ниту локален минимум во оваа точка.

Вториот извод на функци?ата може да се користи за тестира?е на конвексноста на функци?ата. Прево?ните точки (точките каде функци?ата се менува од конвексен во конкавен облик) имаат нула како втор извод.

Геометриска интерпретаци?а на изводот

Ако функци?ата f е диференци?абилна во точката, тогаш коефициентот на насоката на тангентата на кривата во точката ?е биде еднаков на, каде α е аголот ко? тангентата го склопува со позитивниот дел од -оската, а равенката на истата тангента ?е гласи:

y - y₀ = f ' (x₀) · ( x − x₀ ),

каде y₀ = f (x₀).

Равенката на нормала во дадена точка Т ?е биде:

y −y₀ = −1/f ' (x₀) · ( x−x₀ )

Пресметува?е на извод

Изводите може теоретски да се пресметуваат по дефиници?а во секо? пример, но во пракса често се користат готови пресметки на попознати, поедноставни функции. Изводите на посложени функции се пресметуваат со користе?е на одредени правила.

Изводи на едноставни функции

${\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {(x+\Delta x)^{n}-x^{n}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $a^{n}-b^{n}={\bigl (}a-b{\bigr )}{\bigl (}a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+\ldots +a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1}{\bigr )}$

$(x+\Delta x)^{n}-x^{n}={\bigl (}(x+\Delta x)-x{\bigr )}{\bigl (}(x+\Delta x)^{n-1}+(x+\Delta x)^{n-2}x+(x+\Delta x)^{n-3}x^{2}+\ldots +(x+\Delta x)^{2}x^{n-3}+(x+\Delta x)x^{n-2}+x^{n-1}{\bigr )}$$(x+\Delta x)^{n}-x^{n}\thickapprox n\Delta xx^{n-1}$

${\bigl (}x^{n}{\bigr )}'=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {n\Delta xx^{n-1}}{\Delta x}}{\Bigr )}=nx^{n-1}$ ; n - ко? било бро?

${\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $e=\lim _{n\to \infty }{\bigl (}1+{\frac {1}{n}}{\bigr )}^{n}=\lim _{h\to 0}{\bigl (}1+h{\bigr )}^{\frac {1}{h}}$

${\frac {e^{(x+\Delta x)}-e^{x}}{\Delta x}}=e^{x}{\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$ ; $e^{\Delta x}-1=h{\xrightarrow[{\Delta x\rightarrow 0}]{}}0$ => $\Delta x=ln(1+h)$

${\frac {e^{\Delta x}-1}{\Delta x}}={\frac {h}{ln(1+h)}}={\frac {1}{ln(1+h)^{\frac {1}{h}}}}$ = 1, ln(e) = 1

Конечно: ${\Bigl (}e^{x}{\Bigr )}^{,}=e^{x}$

${\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $ln(x+\Delta x)-ln(x)=ln{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}$

${\frac {ln(x+\Delta x)-ln(x)}{\Delta x}}={\frac {1}{x}}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}$ ; $\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{\frac {\Delta x}{x}}}{\Bigr )}=1$

${\Bigl (}ln(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{x}}$

${\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=\ lim_{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; ${\frac {a^{(x+\Delta x)}-a^{x}}{\Delta x}}=a^{x}{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}$

$a^{\Delta x}-1=h$ => $\Delta x=log_{a}(1+h)={\frac {ln(1+h)}{lna}}$

${\Bigl (}a^{x}{\Bigr )}^{,}=a^{x}ln(a)$

${\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)}{\Delta x}}{\Bigr )}$ ; $log_{a}(x+\Delta x)-log_{a}(x)=log_{a}{\bigl (}{\frac {x+\Delta x}{x}}{\bigr )}=log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}$

$log_{a}{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}={\frac {ln{\Bigl (}1+{\frac {\Delta x}{x}}{\Bigr )}}{lna}}$

${\Bigl (}log_{a}(x){\Bigr )}^{,}={\frac {1}{xlna}}$

${\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$

$sin(\alpha )-sin(\beta )=2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}})cos({\frac {\alpha +\beta }{2}})$ => ${\frac {sin(x+\Delta x)-\sin {x}}{\Delta x}}=2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}cos(x+{\frac {\Delta x}{2}})$ . Како ${\frac {\sin x}{x}}{\xrightarrow[{x\rightarrow 0}]{}}1\Rightarrow$

${\Bigl (}sin(x){\Bigr )}^{,}=\cos x$

${\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=\lim _{\Delta x\to 0}{\Bigl (}{\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}{\Bigr )}$

$cos(\alpha )-cos(\beta )=-2sin({\frac {\alpha -\beta }{2}}sin({\frac {\alpha +\beta }{2}})$ =>

${\frac {cos(x+\Delta x)-\cos {x}}{\Delta x}}=-2{\frac {sin{\frac {\Delta x}{2}}}{\Delta x}}sin(x+{\frac {\Delta x}{2}})$ =>

${\Bigl (}cos(x){\Bigr )}^{,}=-\sin x$

${\Bigl (}tan(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\sin {x}}{\cos {x}}}{\Bigr )}^{,}$ = ${\frac {{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}\cos {x}-\sin {x}{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}}{\cos {x}^{2}}}$ = ${\frac {\sin {x}^{2}+\cos {x}^{2}}{\cos {x}^{2}}}={\frac {1}{\cos {x}^{2}}}$

${\Bigl (}cot(x){\Bigr )}^{,}={\Bigl (}{\frac {\cos {x}}{\sin {x}}}{\Bigr )}^{,}$ = ${\frac {{\Bigl (}\cos {x}{\Bigr )}^{,}\sin {x}-\cos {x}{\Bigl (}\sin {x}{\Bigr )}^{,}}{\sin {x}^{2}}}$ = ${\frac {-\sin {x}^{2}-\cos {x}^{2}}{\sin {x}^{2}}}={\frac {-1}{\sin {x}^{2}}}$

Таблица на изводи на елементарни функции

Функци?а $f(x)$	Извод $f'(x)$			Функци?а $f(x)$	Извод $f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$			${\text{sh}}\,x$	${\text{ch}}\,x$
$\cos x$	$-\sin x$			${\text{ch}}\,x$	${\text{sh}}\,x$
${\text{tg}}\,x$	${\frac {1}{\cos ^{2}x}}$			${\text{th}}\,x$	${\frac {1}{{\text{ch}}^{2}x}}$
${\text{ctg}}\,x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$			${\text{cth}}\,x$	$-{\frac {1}{{\text{sh}}^{2}x}}$
$\arcsin x$	${\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$			${\text{Arsh}}\,x$	${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$
$\arccos x$	$-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$			${\text{Arch}}\,x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$
${\text{arctg}}\,x$	${\frac {1}{1+x^{2}}}$			${\text{Arth}}\,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$
${\text{arcctg}}\,x$	$-{\frac {1}{1+x^{2}}}$			${\text{Arcth}}\,x$	${\frac {1}{1-x^{2}}}$
$e^{x}$	$e^{x}$			$a^{x}$	$a^{x}\ln a$
$\ln(x)$	${\frac {1}{x}}$			${\frac {1}{x}}$	$-{\frac {1}{x^{2}}}$
$\log _{a}x$	${\frac {1}{x\ln a}}$			$|x|$	${\frac {x}{|x|}}$
${\sqrt {x}}$	${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$			$x^{n}$	$nx^{n-1}$

Извод на сложена функци?а

Дадена е сложена функци?а $y=f(u)$, при што $u=g(x)$

Изводот е еднаков на производот на изводите на поединечните делови: $(f\circ g)'(x)=(f(g(x))'=f'(u)g'(x)$

Пример:

$[sin(x^{2})]'=sin'(x^{2})*(x^{2})'=2xcos(x^{2})$

Особини на изводот

Збир на изводи е извод на збирот:

$u'(x)\pm v'(x)=[u(x)\pm v(x)]'$

Извод на производ:

$[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

Посебен случа? е извод на функци?а помножена со константа:

$[cu(x)]'=c'u(x)+cu'(x)=0*u(x)+cu'(x)=cu'(x)$

Извод на количник:

${\bigl [}{\frac {u(x)}{v(x)}}{\bigr ]}'={\frac {u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}}$

Втор извод и изводи од повисок ред

Вториот извод се дефинира како извод на првиот извод:

$f''(x)|_{x=a}=(f'(x)|_{x=a})'\,$

Истото важи и за секо? нареден извод:

$f'''(x)|_{x=a}=(f''(x)|_{x=a})'\,$

$f^{(n)}(x)|_{x=a}=(f^{(n-1)}(x)|_{x=a})'\,$

Поврзано

• Таблица на изводи
• Извод на сложена функци?а