【直播】《泰拉瑞亚》快速毕业，其实也不太快……

百度 眼下，上海90%以上的菜市场已经完成了标准化改造，脏乱差的销售环境一去不返；但面对消费需求的变化，标准化菜市场也开始从传统的出租摊位、收取租金模式，向信息化、公司化、现代化的集约化市场转变，为市民提供更加舒适也更多样化的卖菜环境。

Бро?чена анализа (бро?чена анализа) — област на математиката ко?а изучува алгоритми кои користат бро?чени апроксимации (за разлика од општите симболички манипулации) за задачите и проблемите на математичката анализа (ко?а што се разликува од дискретна математика). Еден од на?раните математички написи е Вавилонската плоча од Вавилонската колекци?а во ?еил (од 1800г. -1600г. п.н.е.) ко?а дава бро?чени апроксимации (приближува?а) на ${\sqrt {2}}$ како должина на ди?агоналата во единечен квадрат во броен систем со основа 60. Од исклучително значе?е е да може да се пресметаат страните на еден триаголник, а со тоа да може да се пресметаат и квадратни корени. Ова е од големо значе?е во областа на астрономи?ата, столари?ата и градежништвото. Бро?чената анализа ?а продолжува долгогодишната традици?а на практичните математички пресметки (пресметки).

• 
  Слика1:Вавилонската глинена плоча од вавилонската колекци?а ?еил (од 1800 г.п.н.е.до 1600 г.п.н.е.) за приближува?е на корен од два со четири шеесетични цифри, што одговара на точност од околу шест децимални цифри, 1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1,41421296 ...

Слично како Вавилонската апроксимаци?а за ${\sqrt {2}}$ , модерната бро?чена анализа не бара точни (егзактни) одговори биде??и точните (егзактни) одговори е на?често невозможнo да се доби?ат во пракса. Наместо тоа голем дел од бро?чената анализа се концентрира на добива?е на приближни решени?а во рамките на разумните граници на грешки. Бро?чената анализа нао?а примена во сите области на инжeнерството и физичките науки, но во 21-от век исто така нао?а примена и во општествените науки, па дури и во уметноста посто?ат усвоени елементи од бро?чени пресметки. Обичните диференци?ални равенки се по?авуваат во небесната механика (планети, ?везди и галаксии), бро?чената линеарна алгебра е важна за анализата на податоци; стохастичките диференци?ални равенки и Марковите вериги се од суштинско значе?е во симулира?ето на однесува?ето на живите клетки во медицината и биологи?ата. Пред по?авата на современите комп?утери, бро?чените методи често зависеле од рачна интерполаци?а на големи печатени табли. Наместо тоа од средината на 20 век комп?утерите почнале да ги пресметуваат потребните функциски вредности. Ме?утоа интерполационите формули сепак продолжуваат да се користат како дел од софтверот за решава?е на диференци?ални равенки.

Општ вовед

Општата цел во полето на бро?чената анализа е диза?н и анализа на техники потребни да се доби?ат приближни, со однапред зададена точност, решени?а за сложени проблеми, чи?а разновидност може да се види низ следново:

• Напредните бро?чени методи се од суштинско значе?е за временските предвидува?а да бидат бро?чени изводливи
• Пресметува?е на траектори?ата на вселенското летало бара прецизни бро?чени решени?а на системи од обични диференци?ални равенки.
• Автомобилските компании можат да ?а подобрат безбедноста на нивните возила од сообра?а?ни несре?и со користе?е на комп?утерски симулации на истите. Симулациите во суштина се состо?ат од бро?чено решава?е на парци?ални диференци?ални равенки.
• Приватните инвестициски фондови користат алатки од сите области на бро?чената анализа за да ги пресметуваат вредностите на акциите и производите од другите учесници на пазарот.
• Авионските линии користат софистицирани алгоритми за оптимизаци?а при донесува?е на одлуките за цените на билетите, авионите и членовите на екипажот, како и потребите за гориво. Историски гледано, такви алгоритми се развиени во рамките на областите кои се преклопуваат со операционите истражува?а.
• Осигурителните компании користат бро?чени програми за статистички анализи.

Истори?а

Областа на бро?чената анализа масовно се користела пред разво?от на модерните комп?утери. Линеарната интерполаци?а била во употреба пред пове?е од 2000 години. Многу големи математичари од минатото биле преокупирани со бро?чена анализа, што се гледа од ими?ата на некои важни алгоритми како на пример ?утнов метод, Лагранжова интерполаци?а на полином, Гаусова елиминаци?а или О?леров метод. За да се олеснат рачните пресметки, големите книги биле произведени со додатоци на формули и табели на податоци, како што се интерполаци?а на точки и коефициенти на функции. Користе?ето на овие табели кои се често пресметани до 16 децимални места или пове?е за некои функции, можеле директно да се вклучат во ве?е дадените формули и да се постигнат многу добри бро?чени проценки и решени?а на некои функции. Канонската работа во оваа област е дадена во книгата об?авена од страна на Националниот институт за стандарди и технологи?а на САД, уредена од Абрамови? и Стегун. Тоа е книга со над 1000 страници во ко?а се дадени и обработени голем бро? на на?често користени формули и функции и нивните вредности во многу точки. Функциските вредности ве?е не се користат многу често поради по?авата на модерниот комп?утер, ме?утоа голем бро? на формули сè уште можат да бидат корисни и користени. Механичкиот калкулатор бил развиен како алатка за рачно пресметува?е. Овие калкулатори еволуирале во електронските комп?утери во 1940 година, а потоа било откриено дека овие комп?утери можат да бидат користени и за административни цели. Пронао?а?ето на комп?утерите вли?аело во областа на бро?чената анализа биде??и оттогаш можеле да се вршат долги и сложени пресметки за многу кратко време.

Директни и итеративни методи

Директните методи го пресметуваат решението на еден проблем во конечен бро? чекори. Овие методи даваат прецизен одговор, кога би биле изведени во аритметика на бесконечна прецизност. Како пример за такви методи можат да се наведат Гаусовата елиминаци?а, метод на QR-факторизаци?а за решава?е на систем на линеарни равенки и симплекс методот на линеарно програмира?е. Во пракса се користи конечна прецизност и резултат е апроксимаци?а на вистинското решение.

Податотека:Директни наспроти итеративни методи

Пр: Да се реши равенката: 3x³ + 4 = 28 за непозната вредност x.

Директна метода
	3x3+4=28
Одземете 4	3x3=24
Поделете со 3	x3=8
Земете кубен корен	x = 2.

За итеративен метод се применува метод на преполовува?е f(x) = 3x³ ? 24. Првичните вредности се и a = 0, b = 3, f(a) = ?24, f (b) = 57.

Итеративен метод
a	b	средина	f(средина)
0	3	1.5	?13.875
1.5	3	2.25	10.17...
1.5	2.25	1.875	?4.22...
1.875	2.25	2.0625	2.32...

Од оваа табела можеме да заклучиме дека решението е поме?у 1.875 и 2.0625. Решение може да биде било ко? бро? во то? опсег со грешка помала од 0.2.

За разлика од директните методи ка? итеративните методи не се очекува да завршат во конечен бро? чекори. Почнува??и од почетно приближува?е, итеративните методи формираат сукцесивна апроксимаци?а ко?а конвергира до прецизното решение единствено во границата на однапред зададена точност. Тестот на конвергенци?а ко? обично опфа?а остаток, се специфицира за да се одреди кога е на?дено доволно прецизно решение. Дури кога би се користела и аритметика на бесконечна прецизност овие методи не би дошле до решение во конечен бро? чекори. Примерите ги опфа?аат ?утновиот метод, метод на преполовува?е и ?акобиевата итераци?а. Во комп?утерската матрична алгебра, итеративните методи се генерално неопходни за решава?е на големи проблеми. Итеративните методи почесто се сре?аваат отколку директните методи во бро?чената анализа. Некои методи во принцип се директни, но обично се применуваат како итеративни на пример: GMRES (Метод за генерализаци?а на минимални остатоци) и методот на кон?угиран градиент. За овие методи бро?от на чекори кои се неопходни за да се добие прецизно решение е толку голем што апроксимаци?ата се прифа?а исто како ка? итеративната метода.

Дискретизаци?а

Континуираните проблеми понекогаш мора да се заменат со дискретни проблеми чие решение е познато, за да тоа решение се апроксимира на континуиран проблем. Ово? процес се нарекува дискретизаци?а. Еден пример за дискретизаци?а е кога решението на диференци?ална равенка, кое е функци?а, треба да биде претставено со ограничен бро? податоци, на пример преку не?зината вредност во ограничен бро? на точки како не?зин домен, иако вистинскиот домен е интервал, т.е. континуирано множество вредности.

Дискретизаци?а и бро?чена интеграци?а

Пример:Во двочасовна трка, ?е се мери брзината на автомобилот во три временски моменти и податоците се евидентирани во следната табела

Време	0:40	1:20	2:00
км/ч	140	150	180

Ако се направи дискретизаци?а, би требало да каже дека брзината на автомобилот била константна од 0:00 до 0:40, а потоа од 0:40 до 1:20 и конечно од 1:20 до 2:00. На пример, вкупното расто?ание во првите 40 минути е апроксимативно околу (2/3 h × 140 км/ч) = 93.3 км. Ова ?е ни овозможи да се процени вкупното поминато расто?ание како што е 93.3 км +100 км + 120 км = 313.3 км, што е пример за бро?чена интеграци?а

Генерира?е и шире?е на грешки

При решава?е на многу практични проблеми, теориската математика може да докаже дека постои решение или дека е единствено, ама не и да даде постапка со ко?а се доа?а до тоа решение. Затоа бро?чената анализа има за цел да го прона?де приближното бро?чено решение на одреден проблем кое би можело да се искористи во различни инженерски дисциплини, како на пример софтверското инженерство. Во софтверското инженерство на?често се користат итеративни постапки, чие решение се приближува до точното, но заради конечниот бро? на повторува?а секогаш отстапува од точното. Отстапува?ето на приближното решение од точното решение претставува грешка ко?а може да биде:

1. апсолутна грешка
2. релативна грешка
3. грешка на приближните вредности на функци?ата и сл.

Грешките се ?авуваат заради бро?чената постапка, како и заради грешките на дадените податоци. Според потеклото грешките можат да бидат:

1. грешка од заокружува?е
2. методска грешка
3. системска грешка

Проучува?ето на формите на грешките е значаен дел од бро?чената анализа. Посто?ат неколку начини преку кои грешката може да биде вклучена во решението на проблемот.

Заокружува?е

Грешките од заокружува?е се ?авуваат биде??и е невозможно прецизно да се претстават сите реални броеви на машина со конечна мемори?а (што е случа? со сите дигитални комп?утери).

Грешки од отсекува?е и дискретизаци?а

Грешките од отсекува?е се по?авуваат тогаш кога еден итеративен метод ?е заврши или математичката постапка се апроксимира, и приближното решение се разликува од точното решение. Слично на тоа дискретизаци?ата вклучува дискретизациона грешка затоа што решението на дискретен проблем не се совпа?а со решението на континуиран проблем. На пример, во итераци?ата прикажана на горниот пример за да се пресмета решението на равенката 3х³+4=28, после 10 или пове?е итерации се заклучува дека се добива грубо решение на пример (1.99) . Со тоа имаме грешка од отсекува?е ко?а изнесува 0.01. Откако една грешка се генерира таа се зголемува низ целата пресметка. Повторно за пример да ?а истакнеме операци?ата собира?е (,,+,, на калкулатор или комп?утер) за ко?а ве?е имаме спомнато дека не е прецизна, од тука следува дека и пресметката од видот a+b+c+d+e е уште понепрецизна. Горе е спомнато дека доа?а до грешка од скратува?е кога апроксимираме математичка постапка. Познато е дека за прецизна интеграци?а на функци?а неопходно е да се на?де збирот на бесконечен бро? трапезоиди. Но, во пракса ме?утоа можно е да се на?де сумата (збирот) само на конечен бро? на трапезоиди, а со тоа да се приближиме кон точната вредност на интегралот. Слично на тоа, за да се на?де извод на функци?ата, диференци?алниот елемент се приближува кон нула, но бро?чено може да се избере само ограничена вредност на диференци?алниот елемент.

Бро?чена стабилност и добро условени проблеми

Бро?чената стабилност е важен поим во бро?чената анализа. Еден алгоритам се нарекува бро?чено стабилен ако една грешка, без разлика како е предизвикана, не расте многу во текот на пресметува?ето. Ова се случува кога проблемот е добро условен што значи дека решението се менува со мала промена на влезните податоци. Во спротивно, ако проблемот е лошо условен тогаш секо?а мала грешка во влезните податоците ?е предизвикува поголема грешка во решението. Заедно и оригиналниот проблем и алгоритмот се користат да се реши проблем ко? може да биде добро условен и/или лошо условен и секо?а од овие комбинации може да биде возможна. Значи еден алгоритам ко? решава добро условен проблем може да биде бро?чено стабилен или нестабилен. Уметноста на бро?чената анализа е да се на?де стабилниот алгоритам за решава?е на добро поставен математички проблем. На пример, пресметува?ето на ${\sqrt {2}}$ (ко? грубо изнесува 1.41421) е добро поставен проблем. Многу алгоритми го решаваат ово? проблем почнува??и со почетна апроксимаци?а (приближува?е) на х₁ кон ${\sqrt {2}}$ , на пример х₁=1.4, и потоа со х₂, х₃, х₄ итн. Еден таков метод е познат како Вавилонски метод, ко? е претставен како x_k+1=x_k/2 + 1/x_k. Уште еден итеративен пристап, ко? ?е го наречеме Метод Х, ко? е даден со $x_{k+1}=(x_{k}^{2}-2)^{2}+x_{k}$ . Пресметани се неколку итерации од секо? од методите и прикажани во табелата подолу со почетни вредности за x₁=1.4 и x₂=1.42.

Вавилонски	Вавилонски	Метод X	Метод X
x1 = 1.4	x1 = 1.42	x1 = 1.4	x1 = 1.42
x2 = 1.4142857...	x2 = 1.41422535...	x2 = 1.4016	x2 = 1.42026896
x3 = 1.414213564...	x3 = 1.41421356242...	x3 = 1.4028614...	x3 = 1.42056...
		...	..
		x1000000 = 1.41421...	x28 = 7280.2284...

Може да се воочи дека вавилонскиот метод конвергира бргу без оглед на почетната вредност, додека пак Методот Х конвергира екстремно бавно со почетната вредност за х₀=1.4 и дивергира за вредност за х₀=1.42. Од тука Вавилонскиот метод претставува бро?чено стабилен алгоритам за разлика од методот Х ко? е бро?чено нестабилен.

Лошо условен проблем: Ако ?а земеме функци?ата $f(x)={\frac {1}{(x-1)}}$. Забележи дека f(1.1) = 10 и f(1.001) = 1000: Промената во х од помалку од 0.1 преминува во промена во f(x) од приближно 1000. Евалуаци?ата на f(x) за приближно x = 1 претставува лошо условен проблем.

Добро условен проблем: Спротивно на тоа, проценка на истата функци?а ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{(x-1)}}}$ во близина на  x = 10 е добро условен проблем. На пример, f(10) = 1/9 ≈ 0.111 и f(11) = 0.1: скромна промена на х води до скромна промена во  f(x).

Бро?чената стабилност е зависна од бро?от на знача?ни цифри ко?што машината (комп?утерот) го поддржува. Доколку користиме комп?утер ко?што поддржува само четири знача?ни децимални цифри (после децималната точка), тоа може да претставува добар пример за губе?е на знача?ните децималните места коешто може да се увиди преку овие две еквивалентни функции:

$f(x)=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})$ и $g(x)={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}$

Ако го споредиме резултатот од:

$f(500)=500({\sqrt {501}}-{\sqrt {500}})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500$

и

$g(500)={\frac {500}{{\sqrt {501}}+{\sqrt {500}}}}={\frac {500}{22.3830+22.3607}}={\frac {500}{44.7437}}=11.1748$

се воочува дека се губат знача?ни цифри, кое исто така се нарекува поништува?е поради одзема?е на два многу блиски бро?а и има огромно вли?ание на резултатите иако двете функции се еквивалентни како што е покажано подолу, т.е равенството поа?а од f(x) и завршува со g(x), така што:

$f(x)=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}})=x({\sqrt {x+1}}-{\sqrt {x}}){\frac {{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}=x{\frac {({\sqrt {x+1}})^{2}-({\sqrt {x}})^{2}}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}=x{\frac {x+1-x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}=x{\frac {1}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}={\frac {x}{{\sqrt {x+1}}+{\sqrt {x}}}}$

Бараната вредност е пресметана со користе?е на бескра?на точност и изнесува 11.174755....., што е точно g(500)=11.1748 после заокружува?е на резултатот на 4 децимални места. Сега да замислиме дека користиме многу операнди, како што се овие функциски вредности погоре; грешките ?е се зголемуваат во текот на програмата за работа, освен ако не користиме соодветна формула за овие две функции, секо? пат кога пресметуваме f (x),или g (x); Примерот претставува модификаци?а преземена од Mathew;Numerical methods using Mathlab 3rd (трето издание).

Области на проучува?е

Полето на бро?чената анализа вклучува многу поддисциплини ме?у кои едни од на?важните се:

Пресметува?е вредности на функции

Еден од на?едноставните проблеми е пресметува?е на функци?а во дадена точка. На?едноставен пристап е само додава?е на бро? во формула ме?утоа понекогаш то? пристап не е ефикасен. За полиноми, подобар пристап е користе?е на Хорнеровата шема биде??и таа ги редуцира бро?от на множе?а и собира?а. Општо земено важно е да се проценат и контролираат грешките од заокружува?е кои произлегуваат од употребата на аритметика на подвижна точка.

Интерполаци?а, екстраполаци?а и регреси?а

Податотека:Решава?е на равенки и систем равенки

Интерполаци?а: забележано е дека температурата варира од 20 степени Целзиусови во 1:00 до 14 степени во 3:00. Со линеарна интерполаци?а на овие податоци се доа?а до заклучок дека во 2:00 биле 17 степени и 18.5 степени во 1:30. Екстраполаци?а: Ако бруто-домашниот производ на зем?ата пораснал за 5% годишно и ако биле 100 мили?арди денари минатата година, со екстраполаци?а може да се заклучи дека ?е биде 105 мили?арди денари оваа година.

• 

Регреси?а: Во линеарна регреси?а , поа?а??и од n точки, пресметуваме равенка на права ко?а поминува колку што е можно поблизу до тие n точки. Оптимизаци?а:Да претпоставиме дека продаваме лимонада на тезга, и воочуваме дека при цена 10 денари, можеме да продадеме 197 чаши лимонади на ден, и за секои 0.1денари зголемена цена, продажбата опа?а за една чаша лимонада на ден. Ако пак продаваме по цена од 14.85 денари, доа?аме до максимален профит, но поради ограничува?ето да наплатуваме целобро?на цена во дени (десетти дел од денарот), наплатуваме 14.8 денари или 14.9 денари за чаша ?е добиеме максимален приход од 2205.2 денари на ден. Диференци?ална равенка: Ако 100 лу?е се насочат да дуваат воздух од еден кра? на собата на другиот кра? и потоа се пушти перо во воздухот, тогаш што ?е се случи? Перото ?е ?а следи стру?ата на воздухот, ко?а може да биде многу комплексна. Една апроксимаци?а е да се измери брзината со ко?а се дува воздухот во близина на перото во секо?а секунда, и да се симулира поместува?ето на перото како да се движи во права лини?а со иста брзина во тек на една секунда, пред повторно да се измери брзината на ветерот. Тоа се нарекува О?лерова метода на решава?е на обична диференци?ална равенка.

Интерполаци?ата го решава следниот проблем: со дадени вредности на неко?а непозната функци?а во голем бро? на точки, ко?а вредност ?а има функци?ата во неко?а друга точка ко?а се нао?а поме?у ве?е дадени точки.

Екстраполаци?ата е многу слична на интерполаци?ата , со таа разлика што сега сакаме да ?а на?деме вредноста на непознатата функци?а во точка ко?а е надвор од ди?апазонот на ве?е дадените точки.

Регреси?ата е исто така слична, но таа зема предвид дека дадените податоци се непрецизни. Со оглед на некои дадени точки и мере?а на вредноста на неко?а функци?а во тие точки (со грешка) ние сакаме да се детерминира (утврди) непозната функци?а. Методот на на?мали квадрати е еден од попопуларните методи за да се постигне оваа цел.

Решава?е на равенки и систем од равенки

Друг основен проблем е пресметува?е на решението на дадена равенка. Два случаи на?често се разликуваат во зависност од тоа дали равенката е линеарна или нелинеарна. На пример, равенката 2х + 5 =3 е линеарна, додека 2х² + 5 = 3 е нелинеарна равенка. Многу напор е вложен во разво?от на методи за решава?е на системи од линеарни равенки. Стандардни директни методи односно методите кои користат некои матрични разложува?а се Гаусовата елиминаци?а , LU декомпозици?а (на долно триаголна матрица L и горно триаголна матрица U), Клоески разложува?e, QR разложува?е за неквадратни матрици. Итеративните методи како што се ?акоби методот, Гаус-Се?дел метод, последователна над-релаксаци?а и методот на кон?угиран градиент на?често се користат за поголеми системи. Алгоритмите за нао?а?е на корени се користат за решава?е на нелинеарни равенки (тие се така наречени затоа што коренот на функци?ата е аргумент за ко? вредноста на функци?ата е нула). Ако функци?ата е диференци?абилна и изводот е познат тогаш ?утновиот метод е популарен избор за решава?е. Линеаризаци?ата е уште една техника за решава?е на нелинеарни равенки.

Нао?а?е на сопствени вредности или сингуларни вредности на даден проблем

Неколку важни практични проблеми можат да бидат изразени преку декомпозици?а на сопствените вредности или декомпозици?а на сингуларни вредности. На пример, спектрален алгоритам за компреси?а на слика е заснован врз декомпозици?а на сингуларни вредности. Соодветната алатка во статистиката се нарекува анализа на главни компоненти.

Оптимизаци?а

Оптимизирачките проблеми бараат точка во ко?а дадената функци?а е достигнува максимална или минимална вредност. Често точката во ко?а што се достигнува минимум или максимум исто така мора да задоволува некои ограничува?а. Полето на оптимизаци?а се дели на неколку подобласти, во зависност од формата на функци?ата на целта и од ограничува?ата. На пример, линеарното програмира?е е такво што функци?а на целта и ограничува?ата се линеарни. Познат метод во линеарното програмира?е е Симплекс алгоритам (метод). Методот на Лагранжови множители може да биде користен за редуцира?е на оптимизирачки проблеми со ограничува?е, до оптимизирачки проблеми без ограничува?е.

Бро?чена интеграци?а

Еден од на?честите проблеми со кои се сретнуваме во бро?чената анализа е пресметува?е на вредности на $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$. Бро?чената интеграци?а во некои случаи е позната како бро?чена квадратура. Познатите методи користат една од ?утн-Котесови формули (како правило на средна точка или Симсоново правило) или Гаусова квадратура. Тие методи се потпираат на стратеги?ата ,,раздели па владе?,, , т.ш интегралот на релативно голем интервал се дели на пове?е интеграли на мали интервали. Во случаите на голем бро? величини, каде тие методи се недопустливо скапи и во поглед на комп?утерските бара?а, се прио?а на примена на Монте-Карловиот или Квази Монте-Карловиот метод или ка? умерено голем бро? величини, се применува методот на ретка мрежа.

Методите на ретки мрежи се множество од бро?чени техники коишто претставуваат, интегрираат или интерполираат високо димензионални функции. Тие првично биле развиени од страна на рускиот математичар Серге? Смолак, ученик на Лазар Листерник, и тие се засноваат на конструкци?а на ?редок“ тензорски производ. Комп?утерските алгоритми за ефикасно имплементира?е на таквите мрежи подоцна биле развиени од страна на Ма?кл Грибл и Кристоф Зенгер.

Диференци?ални равенки

Бро?чената анализа се занимава со пресметува?е на решението на диференци?ални равенки, без разлика дали се обични или парци?ални диференци?ални равенки. Парци?алните диференци?ални равенки се решаваат со првата дискретизаци?а на равенката, доведува??и ?а во конечни димензии. Ова може да биде направено со користе?е на методот на конечни елементи, методот на конечни разлики или (особено во областа на инженерството) со користе?е на методот на конечни волумени. Ова го редуцира проблемот на решението на една алгебарска равенка. Две основни методи за бро?чено решава?е на диференци?ални равенки се О?леровата метода и фамили?ата Рунге-Кута методи.

Софтвер

Од кра?от на 20 век пове?ето алгоритми од бро?чена анализа се имплементираат во различни програмски ?азици. Netlib-библиотеката содржи различни колекции на програмски рутини за бро?чени проблеми, на?многу во FORTRAN и C. Комерци?алните производи имплементираат многу различни бро?чени алгоритми вклучува??и ги и IMSL и NAG библиотеките; бесплатен начин е GNU научната библиотека. Посто?ат неколку популарни бро?чени комп?утерски апликации како што се MATLAB , TK Solver, S-PLUS, Lab View i IDL како подобар од бесплатните и отворени алтернативни извори како што се Free MAT, Scilab, GNU Oktave, (слично како MATLAB), IT ++ (C++ библиотека), R (слично на S-PLUS) и одредени вари?анти на Па?тон(Python). Перформансите значително варираат во голема мера: кога векторските и матричните операции се на?често брзи, скаларните ?амки може да се разликуваат по брзина од пове?е од еден ред на големина. Многу системи за комп?утерска алгебра како Mathematica имаат достапност на аритметика со произволна прецизност ко?а што може да обезбеди пове?е точни резултати. Исто така секо? софтвер за табеларни пресметува?а (како MS Excel) може да се користи за решава?е на едноставни проблеми поврзани со бро?чената анализа.

Трапезна и Симсонова формула во бро?чено интегрира?е

• 
  Плоштината под функци?ата f(x) означена со сино се апроксимира со плоштината на трапезите под деловите на линеарната апроксимаци?а (означена со црвено).

Две основни методи на бро?чената интеграци?а се: проширената трапезна формула и проширената Симсонова формула. Ка? проширената трапезна формула, интервалот на интеграци?а [a,b] се дели на n-подинтервали со следнава ознака: а=x₀ < x₁ <....< x_n=b. Во сите точки на поделба се пресметуваат вредноста на подинтегралната функци?а y_i=f(x_i), т.ш над секо? подинтеграл се формира трапез со спо?ува?е на точките T_i(x_i,y_i) и T_i+1(x_i+1,y_i+1). Со то? трапез чи?ашто плоштина Pi=(x_i+1-x_i)(y_i+y_i+1)/2 се апроксимира вистинската плоштина под функци?ата f(x) на то? интервал. Покра? вообичаената постапка на еквидистантна поделба, т.е x_i+1-x_i=(b-a)/n , со собира?е на плоштината на трапезите конструирани над сите интервални поделби добиваме трапезна формула:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\tfrac {b-a}{2n}}{\bigl (}y_{0}+2y_{1}+2y_{2}+...+2y_{(}n-1)+y_{n}{\bigr )}$

Оценката на грешката со оваа бро?чена апроксимаци?а е дадена со :

$E(f)=\max _{\xi \in (a,b)}{\frac {(b-a)^{3}}{12n^{3}}}\left\vert f''(\xi )\right\vert$

• 

Проширената Симсонова формула како и трапезната формула почнува со поделба на интервалот [ а,b] на n, не секогаш еднакви подинтервали, но ово? пат на секои два подинтервали односно низ точките T_i-1(x_i-1,y_i-1), T_i(x_i,y_i) и T_i+1(x_i+1,y_i+1) се конструира единствена квадратна функци?а, чи? график е парабола. Оваа парабола е означена со црвена бо?а (P(x)). Заради тоа ка? примена на Симпсоновата формула имаме дополнителен услов, бро?от на подинтервали да биде парен бро? n. По пресметува?ето на плоштините под така конструираните параболи, со нивно собира?е добиваме проширена Симпсонова формула:

$\int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\frac {b-a}{3n}}[y_{0}+4y_{1}+2y_{2}+4y_{3}+2y_{4}+...+4y_{(}n-1)-y_{n}]$

Оценката на грешката на проширената Симпсонова формула е дадена со изразот:

$E(f)=\max _{\xi \in (a,b)}{\frac {(b-a)^{5}}{180n^{4}}}\left\vert f^{4}(\xi )\right\vert$

Како што на?често во правилото на парабола, подобра апроксимаци?а на функци?ата од правецот има, така Симпсоновата формула на?често дава поточен резултат од трапезната формула.